જો $-\hat{i}+4 \hat{j}-4 \hat{k}$,$3 \hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k}$,$-3 \hat{i}+8 \hat{j}-5 \hat{k}$ અને $-3 \hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓ સમતલીય હોય,તો $\lambda=$

જો સદિશો $\overrightarrow{a}=\hat{i}+a \hat{j}+a^{2} \hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+b \hat{j}+b^{2} \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}=\hat{i}+c \hat{j}+c^{2} \hat{k}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \\ b & b^{2} & 1+b^{3} \\ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}\right|=0$ હોય,તો $abc$ ની કિંમત શોધો.

જો જેમના સ્થાન સદિશો $3i - 2j - k,$ $2i + 3j - 4k,$ $-i + j + 2k,$ અને $4i + 5j + \lambda k$ છે તેવા બિંદુઓ એક જ સમતલમાં આવેલા હોય,તો $\lambda = $

સમાંતર બાજુવાળા ષટ્ફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ શોધો જેની સહ-આદિમ ધાર (coterminous edges) $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$, $\vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$, અને $\vec{c} = \hat{j} + 3\hat{k}$ છે. ($\text{ ઘન એકમ}$ માં)

ધારો કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો છે અને $\overline{p}, \overline{q}, \overline{r}$ એ $\overline{p}=\frac{\overline{b} \times \overline{c}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}, \overline{q}=\frac{\overline{c} \times \overline{a}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}, \overline{r}=\frac{\overline{a} \times \overline{b}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}$ સંબંધો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તો પદાવલિ $(\overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{p}+(\overline{b}+\overline{c}) \cdot \overline{q}+(\overline{c}+\overline{a}) \cdot \overline{r}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $-2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\hat{j}-\hat{k}$ અને $\lambda\hat{j}+\hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોય, તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.