यदि दीर्घवृत्तों x^{2}+2y^{2}-6x-12y+23=0 और | vedclass

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Question

(D) माना दीर्घवृत्तों के समीकरण $S_{1} = x^{2}+2y^{2}-6x-12y+23=0$ और $S_{2} = 4x^{2}+2y^{2}-20x-12y+35=0$ हैं। इन दोनों दीर्घवृत्तों के प्रतिच्छेदन स

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$55$

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(D) माना दीर्घवृत्तों के समीकरण $S_{1} = x^{2}+2y^{2}-6x-12y+23=0$ और $S_{2} = 4x^{2}+2y^{2}-20x-12y+35=0$ हैं। इन दोनों दीर्घवृत्तों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वक्र का समीकरण $S_{1} + \lambda S_{2} = 0$ है। $(x^{2}+2y^{2}-6x-12y+23) + \lambda(4x^{2}+2y^{2}-20x-12y+35) = 0$. $(1+4\lambda)x^{2} + (2+2\lambda)y^{2} - (6+20\lambda)x - (12+12\lambda)y + (23+35\lambda) = 0$. वृत्त के लिए, $x^{2}$ का गुणांक और $y^{2}$ का गुणांक समान होना चाहिए: $1+4\lambda = 2+2\lambda$ $\Rightarrow 2\lambda = 1$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$. समीकरण में $\lambda = \frac{1}{2}$ रखने पर: $3x^{2} + 3y^{2} - 16x - 18y + 40.5 = 0$. $3$ से भाग देने पर: $x^{2} + y^{2} - \frac{16}{3}x - 6y + 13.5 = 0$. केंद्र $(a, b) = (\frac{8}{3}, 3)$ है। त्रिज्या $r^{2} = \frac{47}{18}$ प्राप्त होती है। अतः, $ab + 18r^{2} = (\frac{8}{3} 	imes 3) + 18(\frac{47}{18}) = 8 + 47 = 55$.

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