यदि परवलयों y^2=5x और x^2=5y के प्रतिच्छेदन ब | vedclass

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Question

(C) दिए गए परवलय $P_1: y^2=5x$ और $P_2: x^2=5y$ हैं।इन समीकरणों को हल करने पर: $y = \frac{x^2}{5}$ को $y^2=5x$ में प्रतिस्थापित करने पर $(\frac{x^2}{5

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$\frac{25}{8}$

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(C) दिए गए परवलय $P_1: y^2=5x$ और $P_2: x^2=5y$ हैं।इन समीकरणों को हल करने पर: $y = \frac{x^2}{5}$ को $y^2=5x$ में प्रतिस्थापित करने पर $(\frac{x^2}{5})^2 = 5x$ प्राप्त होता है,जो $x^4 = 125x$ में सरल हो जाता है। अतः,$x(x^3 - 125) = 0$,जिससे $x=0$ या $x=5$ प्राप्त होता है।प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(5,5)$ हैं।$(0,0)$ और $(5,5)$ से गुजरने वाली रेखा $L$,$y=x$ है।$P_1$ की नियता ($y^2=4ax$ जहाँ $4a=5 \Rightarrow a=5/4$) $x = -\frac{5}{4}$ है।$P_2$ का नाभिलंब ($x^2=4ay$ जहाँ $4a=5 \Rightarrow a=5/4$) $y = \frac{5}{4}$ है।त्रिभुज के शीर्ष इन तीन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:$1$. $x = -\frac{5}{4}$ और $y = \frac{5}{4}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(-\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ है।$2$. $x = -\frac{5}{4}$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(-\frac{5}{4}, -\frac{5}{4})$ है।$3$. $y = \frac{5}{4}$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ है।शीर्षों $A(\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$,$B(-\frac{5}{4}, -\frac{5}{4})$,और $C(-\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल:क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{5}{4}(-\frac{5}{4} - \frac{5}{4}) + (-\frac{5}{4})(\frac{5}{4} - \frac{5}{4}) + (-\frac{5}{4})(\frac{5}{4} - (-\frac{5}{4}))|$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-\frac{50}{16} - \frac{50}{16}| = \frac{25}{8}$.

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परवलय का शीर्ष $(1, 2)$ पर है और इसका अक्ष $y$-अक्ष के समांतर है। यदि परवलय $(0, 6)$ से होकर गुजरता है,तो इसका नाभिलंब (latus rectum) है:

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