જો વસ્તી દર વર્ષે $8 \%$ ના દરે વધતી હોય,તો વસ્તી બમણી થવા માટે લાગતો સમય કેટલો છે ($\text{વર્ષ}$ માં)? (આપેલ છે $\log 2=0.6912$ )

જો વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1+x}{2y}$ નો ઉકેલ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતો શંકુ (conic) હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

વક્રોના કુળનું સમીકરણ શોધો જેના માટે કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સબનોર્મલની લંબાઈ હંમેશા અચળ $(k)$ હોય.

વક્રોનું એક કુટુંબ એવું છે કે ઉગમબિંદુ અને કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પરના સ્પર્શક વચ્ચે $y$-અક્ષ પર કપાયેલ અંતર એ સંપર્ક બિંદુના કોટિ (ordinate) કરતા ત્રણ ગણું છે. તો વક્રોનું કુટુંબ કયું છે?

એક ચોક્કસ ઉંદરની પ્રજાતિની સમય $t$ પરની વસ્તી $p(t)$ વિકલ સમીકરણ $\frac{dp(t)}{dt} = 0.5p(t) - 450$ નું પાલન કરે છે. જો $p(0) = 850$ હોય,તો વસ્તી શૂન્ય થાય તે સમય છે:

વક્ર $C : y = y(x)$ ના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{2e^{2x} - 6e^{-x} + 9}{2 + 9e^{-2x}}$ છે. જો $C$ બિંદુઓ $(0, \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}})$ અને $(\alpha, \frac{1}{2}e^{2\alpha})$ માંથી પસાર થાય,તો $e^{\alpha}$ ની કિંમત શોધો.