यदि वृत्तों x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 और 2x^2+2y^2+ | vedclass

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Question

(A) प्रथम वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। दूसरे वृत्त का समीकरण $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ है,जिसे $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ के रूप में लिखा

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$g=\frac{3}{4}$ या $f=2$

Vedclass · Answer

(A) प्रथम वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। दूसरे वृत्त का समीकरण $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ है,जिसे $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों समीकरणों को घटाने पर मूल अक्ष $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$ प्राप्त होती है। यह रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती है। तीसरा वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ है,जो $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ है। इसका केंद्र $(-1,-1)$ और त्रिज्या $1$ है। रेखा $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$ इस वृत्त को स्पर्श करती है यदि $(-1,-1)$ से रेखा की लंबवत दूरी $1$ हो। $\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(-2g+\frac{3}{2}-2f+4)^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$. मान लें $A = 2g-\frac{3}{2}$ और $B = 2f-4$. तो $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,जिसका अर्थ है $A^2+B^2+2AB = A^2+B^2$,इसलिए $2AB=0$. अतः,$A=0$ या $B=0$. $2g-\frac{3}{2}=0 \implies g=\frac{3}{4}$ या $2f-4=0 \implies f=2$.

यदि वृत्तों $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ की मूल अक्ष (radical axis) वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को स्पर्श करती है,तो

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