यदि आव्यूह begin{bmatrix} x & x & x x & x^2 | vedclass

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Question

(C) माना $A = \begin{bmatrix} x & x & x \ x & x^2 & x \ x & x & x+1 \end{bmatrix}$.आव्यूह $A$ की कोटि $1$ होने के लिए, $2$ क्रम के सभी उपसारणिक (min

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$x=0$

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(C) माना $A = \begin{bmatrix} x & x & x \ x & x^2 & x \ x & x & x+1 \end{bmatrix}$.आव्यूह $A$ की कोटि $1$ होने के लिए, $2$ क्रम के सभी उपसारणिक (minors) शून्य होने चाहिए।प्रथम दो पंक्तियों और प्रथम दो स्तंभों द्वारा निर्मित उपसारणिक लें: $\begin{vmatrix} x & x \ x & x^2 \end{vmatrix} = x^3 - x^2 = x^2(x-1)$.इसे शून्य होने के लिए, $x=0$ या $x=1$ होना चाहिए।स्थिति $1$: यदि $x=1$ है, तो $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$. यहाँ उपसारणिक $\begin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2-1 = 1 
eq 0$ है। अतः, कोटि कम से कम $2$ है। इसलिए $x=1$ हल नहीं है।स्थिति $2$: यदि $x=0$ है, तो $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$. $2$ क्रम के सभी उपसारणिक शून्य हैं और कम से कम एक अवयव अशून्य है ($A_{33}$ पर $1$)। अतः, कोटि $1$ है।इसलिए, केवल $x=0$ ही संभव है।

यदि आव्यूह $\begin{bmatrix} x & x & x \\ x & x^2 & x \\ x & x & x+1 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) $1$ है, तो:

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यदि आव्यूह $A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha\end{array}\right]$ की कोटि (rank) $3$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left| \begin{array}{ccc} 1 + ax & 1 + bx & 1 + cx \\ 1 + a_1x & 1 + b_1x & 1 + c_1x \\ 1 + a_2x & 1 + b_2x & 1 + c_2x \end{array} \right| = A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3$ है,तो $A_1$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x \neq 0$ के लिए सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 4 + x^2 & -6 & -2 \\ -6 & 9 + x^2 & 3 \\ -2 & 3 & 1 + x^2 \end{array} \right|$ निम्नलिखित में से किससे विभाज्य नहीं है?

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x+a+b) & \sin(x+a+b) & 10 \\ \cos(x+b+c) & \sin(x+b+c) & 10 \\ \cos(x+c+a) & \sin(x+c+a) & 10 \end{array} \right|$ है,तो $f(2019)^{f(2020)} - f(2020)^{f(2019)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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