यदि रेखाओंL_1: overrightarrow{r}=(2+lambda) h | vedclass

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Question

(B) रेखाएं इस प्रकार हैं:$L_1: \overrightarrow{r} = (2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k})$$L_2: \overrightarrow{r}

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$387$

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(B) रेखाएं इस प्रकार हैं:$L_1: \overrightarrow{r} = (2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k})$$L_2: \overrightarrow{r} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})$माना $\overrightarrow{a_1} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ और $\overrightarrow{a_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.माना $\overrightarrow{p} = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\overrightarrow{q} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$.तब $\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1} = (2-2)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.क्रॉस गुणनफल $\overrightarrow{p} 	imes \overrightarrow{q}$ है:$\overrightarrow{p} 	imes \overrightarrow{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & -3 & 4 \ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-12) - \hat{j}(1-8) + \hat{k}(3+6) = -15\hat{i} + 7\hat{j} + 9\hat{k}$.इसका परिमाण $|\overrightarrow{p} 	imes \overrightarrow{q}| = \sqrt{(-15)^2 + 7^2 + 9^2} = \sqrt{225 + 49 + 81} = \sqrt{355}$.न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1}) \cdot (\overrightarrow{p} 	imes \overrightarrow{q})}{|\overrightarrow{p} 	imes \overrightarrow{q}|} ight|$ द्वारा दी जाती है।$d = \left| \frac{(0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (-15\hat{i} + 7\hat{j} + 9\hat{k})}{\sqrt{355}} ight| = \left| \frac{0 + 14 + 18}{\sqrt{355}} ight| = \frac{32}{\sqrt{355}}$.$\frac{m}{\sqrt{n}}$ से तुलना करने पर,हमें $m = 32$ और $n = 355$ प्राप्त होता है।चूंकि $\operatorname{gcd}(32, 355) = 1$,इसलिए $m+n = 32 + 355 = 387$.

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