यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ तीन क्रमागत प्राकृति | vedclass

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Question

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $x-1, x, x+1$ हैं जहाँ $x > 2$ है। सबसे छोटी भुजा $x-1$ है और सबसे बड़ी भुजा $x+1$ है। माना सबसे छोटा कोण $	heta$ (भुजा $x

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$\frac{15}{4} \sqrt{7}$

Vedclass · Answer

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $x-1, x, x+1$ हैं जहाँ $x > 2$ है। सबसे छोटी भुजा $x-1$ है और सबसे बड़ी भुजा $x+1$ है। माना सबसे छोटा कोण $	heta$ (भुजा $x-1$ के सम्मुख) है और सबसे बड़ा कोण $2	heta$ (भुजा $x+1$ के सम्मुख) है।कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए:$\cos(2	heta) = \frac{x^2 + (x-1)^2 - (x+1)^2}{2x(x-1)} = \frac{x^2 + x^2 - 2x + 1 - (x^2 + 2x + 1)}{2x(x-1)} = \frac{x^2 - 4x}{2x(x-1)} = \frac{x-4}{2(x-1)}$ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करते हुए:$\frac{x+1}{\sin(2	heta)} = \frac{x-1}{\sin(	heta)} \Rightarrow \frac{x+1}{2\sin(	heta)\cos(	heta)} = \frac{x-1}{\sin(	heta)} \Rightarrow \cos(	heta) = \frac{x+1}{2(x-1)}$चूँकि $\cos(2	heta) = 2\cos^2(	heta) - 1$,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:$\frac{x-4}{2(x-1)} = 2\left(\frac{x+1}{2(x-1)}ight)^2 - 1 = \frac{(x+1)^2}{2(x-1)^2} - 1 = \frac{x^2+2x+1 - 2(x^2-2x+1)}{2(x-1)^2} = \frac{-x^2+6x-1}{2(x-1)^2}$$\frac{x-4}{x-1} = \frac{-x^2+6x-1}{(x-1)^2}$ को हल करने पर $x=5$ प्राप्त होता है।भुजाएँ $4, 5, 6$ हैं। अर्ध-परिमाप $s = \frac{4+5+6}{2} = \frac{15}{2}$ है।क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2} 	imes \frac{7}{2} 	imes \frac{5}{2} 	imes \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{1575}{16}} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$.

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