જો વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર દોરેલા સ્પર્શકનો ઢાળ $(x+y)$ હોય,તો તે વક્રનું સમીકરણ શું છે?

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x^2+11x+13}{x^3+6x^2+11x+6}\right)y = \frac{x+3}{x+1}$,જ્યાં $x > -1$,નો ઉકેલ વક્ર છે,જે બિંદુ $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે. તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(1 + xy^2(1 + \log_e x))$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $x > 0$ અને $y(1) = 3$. તો $\frac{y^2(x)}{9}$ ની કિંમત શોધો:

$x \frac{dy}{dx} - 2y = x^2 + \sin \left( \frac{1}{x^2} \right)$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યારે $x = 0$ અને $y = \frac{3\pi}{4}$ હોય.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(1-x^2) dy = [xy + (x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}] dx$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $-1 < x < 1$ અને $y(0)=0$ છે. જો $y(1/2) = m/n$ હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તો $m+n$ ની કિંમત શોધો.