ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ (1-x^2) dy = [xy | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1-x^2) dy = [xy + (x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}] dx$ છે.$(1-x^2) dx$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^2} y = \frac{(x^3+2) \sq

Vedclass · Accepted Answer

$97$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1-x^2) dy = [xy + (x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}] dx$ છે.$(1-x^2) dx$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^2} y = \frac{(x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}}{1-x^2}$ મળે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{x}{1-x^2}$ અને $Q(x) = \frac{(x^3+2) \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}}$.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{x}{1-x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^2)} = \sqrt{1-x^2}$.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.$y \sqrt{1-x^2} = \int \frac{(x^3+2) \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx + C = \sqrt{3} \int (x^3+2) dx + C$.$y \sqrt{1-x^2} = \sqrt{3} (\frac{x^4}{4} + 2x) + C$.$y(0)=0$ આપેલ હોવાથી,$0 = \sqrt{3}(0) + C$,તેથી $C=0$.આમ,$y \sqrt{1-x^2} = \sqrt{3} (\frac{x^4}{4} + 2x)$.$x = 1/2$ માટે,$y \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3} (\frac{(1/2)^4}{4} + 2(1/2)) = \sqrt{3} (\frac{1}{64} + 1) = \sqrt{3} (\frac{65}{64})$.$y \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \frac{65}{64}$.$y = \frac{65}{32}$.અહીં $m=65$ અને $n=32$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તેથી $m+n = 65+32 = 97$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (\tan x)y = \sin x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3},$ નો ઉકેલ હોય અને $y(0) = 0$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sec x \, dy + \{2(1-x) \tan x + x(2-x)\} \, dx = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0)=2$ છે. તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(1)=0$ છે. તો $y(0)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y = x^3y^6$ નો ઉકેલ છે:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module