यदि (1+3x-2x^2)^n के विस्तार में x^r (r=0, 1, | vedclass

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Question

(D) $(1+3x-2x^2)^n$ के विस्तार में गुणांकों का योग $x=1$ रखने पर प्राप्त होता है। दिया गया है $P(1) = (1+3(1)-2(1)^2)^n = 128$. $(1+3-2)^n = 128$ $\Ri

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$105$

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(D) $(1+3x-2x^2)^n$ के विस्तार में गुणांकों का योग $x=1$ रखने पर प्राप्त होता है। दिया गया है $P(1) = (1+3(1)-2(1)^2)^n = 128$. $(1+3-2)^n = 128$ $\Rightarrow 2^n = 2^7$ $\Rightarrow n=7$. हमें योग $S = \sum_{r=1}^{2n} r \frac{^{2n}C_r}{^{2n}C_{r-1}}$ का मान ज्ञात करना है। गुणधर्म $\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर: $\frac{^{2n}C_r}{^{2n}C_{r-1}} = \frac{2n-r+1}{r}$. इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर: $S = \sum_{r=1}^{2n} r \left( \frac{2n-r+1}{r} ight) = \sum_{r=1}^{2n} (2n-r+1)$. यह $2n$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है। $S = (2n) + (2n-1) + \ldots + 1 = \frac{(2n)(2n+1)}{2} = n(2n+1)$. $n=7$ के लिए,$S = 7(2(7)+1) = 7 	imes 15 = 105$.

यदि $(1+3x-2x^2)^n$ के विस्तार में $x^r$ $(r=0, 1, 2, \ldots, 2n)$ के गुणांकों का योग $128$ है,तो $\sum_{r=1}^{2n} r \frac{^{2n}C_r}{^{2n}C_{r-1}} = $

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