यदि गुणनफल (1+x+x^{2}+ldots+x^{2n})(1-x+x^{2} | vedclass

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Question

(A) माना $P(x) = (1+x+x^{2}+\ldots+x^{2n})(1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+x^{2n}) = \sum_{k=0}^{4n} a_k x^k$. सम घातों के गुणांकों का योग $\frac{P(1) + P(-1)}

Vedclass · Accepted Answer

$30$

Vedclass · Answer

(A) माना $P(x) = (1+x+x^{2}+\ldots+x^{2n})(1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+x^{2n}) = \sum_{k=0}^{4n} a_k x^k$. सम घातों के गुणांकों का योग $\frac{P(1) + P(-1)}{2}$ द्वारा प्राप्त होता है। पहले,$P(1)$ की गणना करें: $P(1) = (1+1+1^{2}+\ldots+1^{2n})(1-1+1^{2}-1^{3}+\ldots+1^{2n}) = (2n+1)(1) = 2n+1$. इसके बाद,$P(-1)$ की गणना करें: $P(-1) = (1-1+1-1+\ldots+1)(1-(-1)+(-1)^{2}-(-1)^{3}+\ldots+(-1)^{2n}) = (1)(2n+1) = 2n+1$. सम घातों के गुणांकों का योग $= \frac{(2n+1) + (2n+1)}{2} = 2n+1$. दिया गया है कि $2n+1 = 61$,इसलिए $2n = 60$,अर्थात $n = 30$.

यदि गुणनफल $(1+x+x^{2}+\ldots+x^{2n})(1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+x^{2n})$ में $x$ की सभी सम घातों के गुणांकों का योग $61$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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माना $(1 + x + x^2)^{20}(2x + 1) = a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + ... + a_{41}x^{41}$,तो $\frac{a_0}{1} + \frac{a_1}{2} + .... + \frac{a_{41}}{42}$ का मान ज्ञात कीजिए।

List-$I$ का List-$II$ के साथ सही मिलान है:

$1+{ }^{n} C_{1} \cos \theta+{ }^{n} C_{2} \cos 2 \theta+\ldots+{ }^{n} C_{n} \cos n \theta$ का मान क्या है?

प्राकृत संख्याओं $m, n$ के लिए,यदि $(1-y)^{m}(1+y)^{n}=1+a_{1} y+a_{2} y^{2}+\ldots +a_{m+n} y^{m+n}$ और $a_{1}=a_{2}=10$ है,तो $(m+n)$ का मान किसके बराबर है?

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