यदि $(2x^3 + \frac{3}{x})^{10}$ के द्विपद विस्तार में $x$ की सभी धनात्मक सम घातों के गुणांकों का योग $5^{10} - \beta \cdot 3^9$ है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$(1+x)^{n+5}$ के द्विपद विस्तार में तीन क्रमागत पदों के गुणांकों का अनुपात $5: 10: 14$ है,तो इस विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक क्या है?

जब $x = \frac{2}{3}$ और $y = \frac{3}{2}$ हो,तो $(3x - 16y)^{15}$ के विस्तार में संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद कौन सा है ($\text{वां पद}$ में)?

मान लीजिए कि $(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}})^{n}$ के द्विपद विस्तार में,$\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ की बढ़ती घातों में,प्रारंभ से पाँचवें पद और अंत से पाँचवें पद का अनुपात $\sqrt[4]{6}: 1$ है। यदि प्रारंभ से छठा पद $\frac{\alpha}{\sqrt[4]{3}}$ है,तो $\alpha$ का मान $.......$ है।

किसी $n \neq 10$ के लिए,यदि $(1+x)^{n+4}$ के द्विपद विस्तार में $5^{\text{th}}$,$6^{\text{th}}$ और $7^{\text{th}}$ पदों के गुणांक $A.P.$ में हैं,तो $(1+x)^{n+4}$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक क्या है?

यदि $C_j$,${}^nC_j$ को दर्शाता है,तो $\frac{C_1}{C_0} + \frac{2 \times C_2}{C_1} + \frac{3 \times C_3}{C_2} + \ldots + \frac{n \times C_n}{C_{n-1}} = $