यदि एक दीर्घवृत्त के केंद्र O(0,0) से नाभियों | vedclass

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Question

(D) माना कि अभीष्ट दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad (a>b)$ है।दी गई जानकारी के अनुसार,केंद्र से प्रत्येक नाभि की दूरी $a

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$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1$

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(D) माना कि अभीष्ट दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad (a>b)$ है।दी गई जानकारी के अनुसार,केंद्र से प्रत्येक नाभि की दूरी $ae$ है,इसलिए दूरियों का योग $2ae = 8\sqrt{6} \Rightarrow ae = 4\sqrt{6}$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2 = 96$ प्राप्त होता है।चूंकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $a^2 - b^2 = 96 \quad (i)$ प्राप्त होता है।वह सबसे छोटा आयत जिसमें दीर्घवृत्त स्थित है,उसकी भुजाएँ $2a$ और $2b$ हैं। अतः $4ab = 80$ $\Rightarrow ab = 20$ $\Rightarrow a^2b^2 = 400 \quad (ii)$ है।सर्वसमिका $(a^2+b^2)^2 = (a^2-b^2)^2 + 4a^2b^2$ का उपयोग करने पर,$(a^2+b^2)^2 = (96)^2 + 4(400) = 10816$ प्राप्त होता है।वर्गमूल लेने पर,$a^2+b^2 = 104 \quad (iii)$ प्राप्त होता है।समीकरण $(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$2a^2 = 200 \Rightarrow a^2 = 100$ प्राप्त होता है।समीकरण $(iii)$ से $(i)$ को घटाने पर,$2b^2 = 8 \Rightarrow b^2 = 4$ प्राप्त होता है।अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1$ है।

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