यदि समीकरण निकाय $\alpha x + y + z = 5$,$x + 2y + 3z = 4$,और $x + 3y + 5z = \beta$ के अनंत हल हैं,तो क्रमित युग्म $(\alpha, \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $AX=D$ रैखिक समीकरणों के निकाय $3x-4y+7z+6=0$, $5x+2y-4z+9=0$ और $8x-6y-z+5=0$ को दर्शाता है, तो

$k$ के कितने मानों के लिए रैखिक समीकरण निकाय $(k + 1)x + 8y = 4k$ और $kx + (k + 3)y = 3k - 1$ का कोई हल नहीं है?

एक क्रमित युग्म $(\alpha, \beta)$ जिसके लिए रैखिक समीकरण निकाय $(1 + \alpha)x + \beta y + z = 2$; $\alpha x + (1 + \beta)y + z = 3$; $\alpha x + \beta y + 2z = 2$ का एक अद्वितीय हल है,वह है

मान लीजिए $S$,$\lambda$ के उन मानों का समुच्चय है,जिनके लिए समीकरण निकाय
$6 \lambda x - 3 y + 3 z = 4 \lambda^2$
$2 x + 6 \lambda y + 4 z = 1$
$3 x + 2 y + 3 \lambda z = \lambda$
का कोई हल नहीं है। तो $12 \sum_{\lambda \in S} |\lambda|$ का मान $...........$ है।

एक वास्तविक संख्या $\alpha$ के लिए,यदि रैखिक समीकरणों की प्रणाली $\begin{bmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha & 1 & \alpha \\ \alpha^2 & \alpha & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ के अनंत हल हैं,तो $1+\alpha+\alpha^2=$