यदि रूपांतरण z = log tan frac{x}{2} अवकल समीक | vedclass

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Question

(B) दिया गया रूपांतरण $z = \log 	an \frac{x}{2}$ है।सबसे पहले, $\frac{d z}{d x}$ ज्ञात करें:$\frac{d z}{d x} = \frac{1}{	an \frac{x}{2}} \cdot \sec^

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$4$

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(B) दिया गया रूपांतरण $z = \log 	an \frac{x}{2}$ है।सबसे पहले, $\frac{d z}{d x}$ ज्ञात करें:$\frac{d z}{d x} = \frac{1}{	an \frac{x}{2}} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.अब, $\frac{d y}{d z}$ को $x$ के पदों में व्यक्त करें:$\frac{d y}{d z} = \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d z} = \frac{d y}{d x} \cdot \sin x$.आगे, $\frac{d^2 y}{d z^2}$ ज्ञात करें:$\frac{d^2 y}{d z^2} = \frac{d}{d z} \left( \sin x \frac{d y}{d x} ight) = \frac{d}{d x} \left( \sin x \frac{d y}{d x} ight) \cdot \frac{d x}{d z} = \left( \cos x \frac{d y}{d x} + \sin x \frac{d^2 y}{d x^2} ight) \cdot \sin x = \sin x \cos x \frac{d y}{d x} + \sin^2 x \frac{d^2 y}{d x^2}$.इसे लक्ष्य समीकरण $\frac{d^2 y}{d z^2} + k y = 0$ में प्रतिस्थापित करें:$\sin^2 x \frac{d^2 y}{d x^2} + \sin x \cos x \frac{d y}{d x} + k y = 0$.$\sin^2 x$ से विभाजित करने पर:$\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + k \operatorname{cosec}^2 x \cdot y = 0$.इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + 4 \operatorname{cosec}^2 x \cdot y = 0$ से करने पर, हमें $k = 4$ प्राप्त होता है।

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