જો વધતી જતી $A.P.$ ના પદો $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots, b_{11}$ નો વિચરણ $90$ હોય,તો આ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત શું છે?

એક વૈજ્ઞાનિક $30$ માછલીઓનું વજન કરે છે. તેમનો મધ્યક $30 \text{ g}$ અને પ્રમાણિત વિચલન $2 \text{ g}$ છે. બાદમાં માલૂમ પડે છે કે વજનકાંટો યોગ્ય રીતે ગોઠવાયેલો ન હતો અને દરેક માછલીનું વજન વાસ્તવિક વજન કરતા $2 \text{ g}$ ઓછું નોંધાયું હતું. તો માછલીઓના વજનનો સાચો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન (ગ્રામમાં) અનુક્રમે કેટલા થશે?

આપેલ છે કે $16$ કિંમતોનો સરવાળો $528$ છે અને $33$ થી વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો $9158$ છે. તો વિચરણ (variance) શોધો:

વિધાન $1$: પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\frac{n^2 - 1}{3}$ છે.
વિધાન $2$: પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^2$ છે અને પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો $\frac{n(4n^2 - 1)}{3}$ છે.

$15$ અવલોકનોનો વિચરણ અને મધ્યક અનુક્રમે $6$ અને $10$ છે. જો દરેક અવલોકનમાં $8$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો પરિણામી અવલોકનોનો નવો વિચરણ અને નવો મધ્યક અનુક્રમે કેટલા થશે?

ધારો કે $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ એ $n$ અવલોકનો છે,$\bar{x}$ તેમનો અંકગણિતીય મધ્યક છે અને $\sigma^2$ તેમનું વિચરણ છે.
વિધાન $-1$: અવલોકનો $2x_1, 2x_2, 2x_3, \dots, 2x_n$ નું વિચરણ $4\sigma^2$ છે.
વિધાન $-2$: $2x_1, 2x_2, 2x_3, \dots, 2x_n$ નો અંકગણિતીય મધ્યક $4\bar{x}$ છે.