यदि सदिश $\hat{\imath}+\hat{\jmath}+\hat{k}$,$\hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k}$ और $2\hat{\imath}+3\hat{\jmath}+m\hat{k}$ समतलीय हैं,तो $m=$

$\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ तीन इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $x \bar{a} + y \bar{b} + z \bar{c} = p(\bar{b} \times \bar{c}) + q(\bar{c} \times \bar{a}) + r(\bar{a} \times \bar{b})$. यदि $(\bar{a}, \bar{b}) = (\bar{b}, \bar{c}) = (\bar{c}, \bar{a}) = \frac{\pi}{3}$, $(\bar{a}, \bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\pi}{6}$ और $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ एक दाहिने हाथ की प्रणाली (right-handed system) बनाते हैं, तो $\frac{x+y+z}{p+q+r} = $

यदि सदिश $\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}$,$-2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}-4 \overrightarrow{c}$ और $\overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}+5 \overrightarrow{c}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a(\alpha \times \beta)+b(\beta \times \gamma)+c(\gamma \times \alpha)=0$ और अदिश $a, b, c$ में से कम से कम एक अशून्य है,तो सदिश $\alpha, \beta, \gamma$ हैं

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं,तो $\frac{\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})}{\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})} + \frac{\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})}{\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})} = \dots$

मान लीजिए $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\overline{p}, \overline{q}, \overline{r}$ को संबंधों $\overline{p}=\frac{\overline{b} \times \overline{c}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}, \overline{q}=\frac{\overline{c} \times \overline{a}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}, \overline{r}=\frac{\overline{a} \times \overline{b}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो व्यंजक $(\overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{p}+(\overline{b}+\overline{c}) \cdot \overline{q}+(\overline{c}+\overline{a}) \cdot \overline{r}$ का मान क्या होगा?