यदि $\Delta ABC$ के शीर्ष $A=(2,3,5), B=(-1,3,2), C=(3,5,-2)$ हैं,तो $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}|=\sqrt{31}$,$4|\vec{b}|=|\vec{c}|=2$ और $2(\vec{a} \times \vec{b})=3(\vec{c} \times \vec{a})$ है। यदि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ है,तो $\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^2$ का मान $............$ है।

यदि $l_1, m_1, n_1$ और $l_2, m_2, n_2$ दो लंबवत रेखाओं की दिक्-कोज्याएं (direction cosines) हैं,तो दोनों रेखाओं के लंबवत रेखा की दिक्-कोज्याएं क्या होंगी?

मान लीजिए $\bar{a}$ और $\bar{b}$ दो सदिश इस प्रकार हैं कि $|\bar{a}|=1$,$|\bar{b}|=4$,और $\bar{a} \cdot \bar{b}=2$ है। यदि $\bar{c}=(2 \bar{a} \times \bar{b})-3 \bar{b}$ है,तो $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}$ है। यदि $\overline{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\overline{a} \cdot \overline{c}=|\overline{c}|$,$|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$ और $(\overline{a} \times \overline{b})$ तथा $\overline{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,तो $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\overline{a}=(1,1,0)$ और $\overline{b}=(0,1,1)$ के लंबवत इकाई सदिशों की संख्या है