જો ત્રણ રેખાઓ જેના સમીકરણો $y=m_{1}x+c_{1}$,$y=m_{2}x+c_{2}$,અને $y=m_{3}x+c_{3}$ હોય અને તે સંગામી હોય,તો સાબિત કરો કે $m_{1}(c_{2}-c_{3})+m_{2}(c_{3}-c_{1})+m_{3}(c_{1}-c_{2})=0$.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$y=m_{1}x+c_{1}$ ... $(1)$
$y=m_{2}x+c_{2}$ ... $(2)$
$y=m_{3}x+c_{3}$ ... $(3)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ માંથી બાદ કરતા:
$0 = (m_{2}-m_{1})x + (c_{2}-c_{1})$
$(m_{1}-m_{2})x = c_{2}-c_{1}$
$x = \frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
$x$ ની આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$y = m_{1}\left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) + c_{1}$
$y = \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
આમ,રેખાઓ $(1)$ અને $(2)$ નું છેદબિંદુ $\left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)$ છે.
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,આ બિંદુ સમીકરણ $(3)$ નું સમાધાન કરશે:
$\frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}} = m_{3}\left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) + c_{3}$
$m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1} = m_{3}(c_{2}-c_{1}) + c_{3}(m_{1}-m_{2})$
$m_{1}(c_{2}-c_{3}) + m_{2}(c_{3}-c_{1}) + m_{3}(c_{1}-c_{2}) = 0$.