જો સમબાજુ ત્રિકોણના બે શિરોબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(3, \sqrt{3})$ હોય,તો ત્રીજા શિરોબિંદુના યામ શોધો.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(3, \sqrt{3})$ અને $C(x, y)$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી $AB = BC = AC$,જેનો અર્થ છે કે $AB^2 = BC^2 = AC^2$.
પ્રથમ,$AB^2 = (3-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2 = 9 + 3 = 12$ મેળવીએ.
$AC^2 = AB^2$ હોવાથી,$x^2 + y^2 = 12$ (સમીકરણ $1$).
$BC^2 = AB^2$ હોવાથી,$(x-3)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 12$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 12$.
$x^2 + y^2 = 12$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા: $12 - 6x - 2\sqrt{3}y + 12 = 12$,જેનું સાદું રૂપ $6x + 2\sqrt{3}y = 12$ અથવા $y = \sqrt{3}(2-x)$ (સમીકરણ $2$) મળે છે.
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $x^2 + [\sqrt{3}(2-x)]^2 = 12$.
$x^2 + 3(4 - 4x + x^2) = 12$.
$x^2 + 12 - 12x + 3x^2 = 12$.
$4x^2 - 12x = 0$,તેથી $4x(x-3) = 0$.
આથી $x = 0$ અથવા $x = 3$ મળે છે.
જો $x = 0$ હોય,તો $y = \sqrt{3}(2-0) = 2\sqrt{3}$.
જો $x = 3$ હોય,તો $y = \sqrt{3}(2-3) = -\sqrt{3}$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(0, 2\sqrt{3})$ અથવા $(3, -\sqrt{3})$ છે.