यदि एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष $(0,0)$ और $(3, \sqrt{3})$ हैं,तो तीसरे शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

(A) माना समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A(0,0)$,$B(3, \sqrt{3})$ और $C(x, y)$ हैं।
चूंकि यह एक समबाहु त्रिभुज है,$AB = BC = AC$,जिसका अर्थ है $AB^2 = BC^2 = AC^2$।
सबसे पहले,$AB^2 = (3-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2 = 9 + 3 = 12$ की गणना करें।
चूंकि $AC^2 = AB^2$,हमारे पास $x^2 + y^2 = 12$ (समीकरण $1$) है।
चूंकि $BC^2 = AB^2$,हमारे पास $(x-3)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 12$ है।
इसका विस्तार करने पर: $x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 12$।
इस समीकरण में $x^2 + y^2 = 12$ रखने पर: $12 - 6x - 2\sqrt{3}y + 12 = 12$,जो सरल होकर $6x + 2\sqrt{3}y = 12$ या $y = \sqrt{3}(2-x)$ (समीकरण $2$) बन जाता है।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $x^2 + [\sqrt{3}(2-x)]^2 = 12$।
$x^2 + 3(4 - 4x + x^2) = 12$।
$x^2 + 12 - 12x + 3x^2 = 12$।
$4x^2 - 12x = 0$,इसलिए $4x(x-3) = 0$।
इससे $x = 0$ या $x = 3$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 0$ है,तो $y = \sqrt{3}(2-0) = 2\sqrt{3}$।
यदि $x = 3$ है,तो $y = \sqrt{3}(2-3) = -\sqrt{3}$।
अतः,तीसरा शीर्ष $(0, 2\sqrt{3})$ या $(3, -\sqrt{3})$ है।