यदि अतिपरवलय frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} | vedclass

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Question

(B) माना रेखा $CP$ का समीकरण $y = mx$ है। इसे अतिपरवलय के समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^2}{a^2

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$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$

Vedclass · Answer

(B) माना रेखा $CP$ का समीकरण $y = mx$ है। इसे अतिपरवलय के समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^2}{a^2} - \frac{m^2 x^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।$x^2$ के लिए हल करने पर,$x^2 = \frac{a^2 b^2}{b^2 - a^2 m^2}$ प्राप्त होता है।चूंकि $y^2 = m^2 x^2$,इसलिए $y^2 = \frac{a^2 b^2 m^2}{b^2 - a^2 m^2}$ है।अतः $(CP)^2 = x^2 + y^2 = x^2(1 + m^2) = \frac{a^2 b^2(1 + m^2)}{b^2 - a^2 m^2}$ है।चूंकि $CP \perp CQ$,$CQ$ की ढाल $-\frac{1}{m}$ है। $(CP)^2$ के व्यंजक में $m$ को $-\frac{1}{m}$ से बदलने पर,$(CQ)^2 = \frac{a^2 b^2(1 + m^2)}{b^2 m^2 - a^2}$ प्राप्त होता है।अब,$\frac{1}{(CP)^2} + \frac{1}{(CQ)^2} = \frac{b^2 - a^2 m^2}{a^2 b^2(1 + m^2)} + \frac{b^2 m^2 - a^2}{a^2 b^2(1 + m^2)} = \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$।

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