જો પરવલય y^2=8x ના બે સ્પર્શકો તેના શિરોબિંદુ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ પરવલય $y^2=8x$ છે. $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=8 \Rightarrow a=2$ મળે. ધારો કે $P$ અને $Q$ ના પ્રચલ યામ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)

Vedclass · Accepted Answer

$y^2=8(x+2)$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ પરવલય $y^2=8x$ છે. $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=8 \Rightarrow a=2$ મળે. ધારો કે $P$ અને $Q$ ના પ્રચલ યામ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે. તેથી,$P$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yt_1=x+2t_1^2$ $(i)$ છે. તે જ રીતે,$Q$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yt_2=x+2t_2^2$ $(ii)$ છે. પરવલય $y^2=8x$ ના શિરોબિંદુ આગળનો સ્પર્શક $y$-અક્ષ છે,એટલે કે $x=0$. $M$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(i)$ માં $x=0$ મૂકતા,$yt_1=2t_1^2 \Rightarrow y=2t_1$ મળે. આમ,$M=(0, 2t_1)$. $N$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(ii)$ માં $x=0$ મૂકતા,$yt_2=2t_2^2 \Rightarrow y=2t_2$ મળે. આમ,$N=(0, 2t_2)$. આપેલ છે કે $MN=4$,તેથી $|2t_1-2t_2|=4$ $\Rightarrow |t_1-t_2|=2$ $\Rightarrow (t_1-t_2)^2=4$ $(iii)$. સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $R(h, k) = (at_1t_2, a(t_1+t_2))$ છે. તેથી,$(h, k) = (2t_1t_2, 2(t_1+t_2))$. આનો અર્થ એ છે કે $t_1t_2 = h/2$ અને $t_1+t_2 = k/2$. આપણે જાણીએ છીએ કે $(t_1+t_2)^2 = (t_1-t_2)^2 + 4t_1t_2$. કિંમતો મૂકતા,$(k/2)^2 = 4 + 4(h/2)$ $\Rightarrow k^2/4 = 4+2h$ $\Rightarrow k^2 = 16+8h = 8(h+2)$. $(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2=8(x+2)$ મળે છે.

Similar Questions

જો શંકુ $y^{2}-4y=4x-4a$ નું શિરોબિંદુ હંમેશા રેખાઓ $x+y=3$ અને $2x+2y-1=0$ ની વચ્ચે આવેલું હોય, તો:

પરવલય $2 y^2+25 x=0$ ની નિયામિકા (directrix) $........$ છે.

જેનું શિરોબિંદુ $(2, -1)$ પર અને નાભિ $(2, -3)$ પર હોય તેવા પરવલયનું સમીકરણ શોધો.

જો પરવલય $y^2=4x$ ની જીવા તેના નાભિમાંથી પસાર થાય અને $X$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે,તો તેની લંબાઈ કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module