यदि परस्पर लंब इकाई सदिशों $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ की दाहिने हाथ की प्रणाली के संदर्भ में,$\vec{\alpha} = 3\hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{\beta} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है,तो $\vec{\beta}$ को $\vec{\beta} = \vec{\beta}_{1} + \vec{\beta}_{2}$ के रूप में व्यक्त करें,जहाँ $\vec{\beta}_{1}$,$\vec{\alpha}$ के समानांतर है और $\vec{\beta}_{2}$,$\vec{\alpha}$ के लंबवत है।

मान लीजिए $\vec{\beta}_{1} = \lambda \vec{\alpha}$,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है। अतः $\vec{\beta}_{1} = 3\lambda \hat{i} - \lambda \hat{j}$।
अब,$\vec{\beta}_{2} = \vec{\beta} - \vec{\beta}_{1} = (2 - 3\lambda) \hat{i} + (1 + \lambda) \hat{j} - 3\hat{k}$।
चूंकि $\vec{\beta}_{2}$,$\vec{\alpha}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}_{2} = 0$ होगा।
$3(2 - 3\lambda) - 1(1 + \lambda) = 0$
$6 - 9\lambda - 1 - \lambda = 0$
$5 - 10\lambda = 0 \implies \lambda = \frac{1}{2}$।
अतः,$\vec{\beta}_{1} = \frac{3}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j}$ और $\vec{\beta}_{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} - 3\hat{k}$।