$\Delta PQR$ માં,$Z$,$X$ અને $Y$ એ અનુક્રમે $\overline{PQ}$,$\overline{QR}$ અને $\overline{PR}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે સંગતતા $PQR \leftrightarrow XYZ$ એ સમરૂપતા છે.

(A) $1$. આપેલ છે: $\Delta PQR$ માં,$Z$,$X$ અને $Y$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $\overline{PQ}$,$\overline{QR}$ અને $\overline{PR}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$2$. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
$3$. તેથી,$ZY \parallel QR$ અને $ZY = \frac{1}{2} QR = XQ = XC$.
$4$. તેવી જ રીતે,$ZX \parallel PR$ અને $ZX = \frac{1}{2} PR = YR = PY$.
$5$. વળી,$YX \parallel PQ$ અને $YX = \frac{1}{2} PQ = ZP = ZQ$.
$6$. $\Delta PQR$ અને $\Delta XYZ$ માં,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{PQ}{YX} = \frac{QR}{XZ} = \frac{PR}{ZY} = 2$.
$7$. ત્રણેય અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PQR \sim \Delta YXZ$.
$8$. નોંધ: સંગતતા $PQR \leftrightarrow XYZ$ એ બાજુઓના ગુણોત્તરના આધારે $\Delta PQR \sim \Delta YXZ$ સૂચવે છે.