$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ છે. $D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $F$ એ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ છે. સાબિત કરો કે $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} AC^{2}$.

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ થાય.
$2$. કાટકોણ $\Delta ABD$ માં,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$ થાય. $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = \frac{1}{2} BC$. તેથી,$AD^{2} = AB^{2} + (\frac{1}{2} BC)^{2} = AB^{2} + \frac{1}{4} BC^{2}$.
$3$. કાટકોણ $\Delta CBF$ માં,$CF^{2} = BC^{2} + BF^{2}$ થાય. $F$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BF = \frac{1}{2} AB$. તેથી,$CF^{2} = BC^{2} + (\frac{1}{2} AB)^{2} = BC^{2} + \frac{1}{4} AB^{2}$.
$4$. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $AD^{2} + CF^{2} = (AB^{2} + \frac{1}{4} BC^{2}) + (BC^{2} + \frac{1}{4} AB^{2})$.
$5$. સાદુંરૂપ આપતા: $AD^{2} + CF^{2} = (1 + \frac{1}{4}) AB^{2} + (1 + \frac{1}{4}) BC^{2} = \frac{5}{4} AB^{2} + \frac{5}{4} BC^{2}$.
$6$. $\frac{5}{4}$ સામાન્ય લેતા: $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} (AB^{2} + BC^{2})$.
$7$. $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ હોવાથી,આપણને $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} AC^{2}$ મળે છે.