$\Delta PQR$ में,$m\angle Q = 90^{\circ}$ और $\overline{PM}$ एक माध्यिका है। सिद्ध कीजिए कि $PR^{2} = PM^{2} + 3RM^{2}$।

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$।
$2$. चूंकि $\overline{PM}$ भुजा $\overline{QR}$ पर एक माध्यिका है,इसलिए $M$,$\overline{QR}$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$QM = RM = \frac{1}{2} QR$,जिसका अर्थ है कि $QR = 2RM$।
$3$. समकोण $\Delta PQM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PM^{2} = PQ^{2} + QM^{2}$। अतः,$PQ^{2} = PM^{2} - QM^{2}$।
$4$. $PQ^{2} = PM^{2} - QM^{2}$ और $QR = 2RM$ के मानों को पहले समीकरण में रखने पर: $PR^{2} = (PM^{2} - QM^{2}) + (2RM)^{2}$।
$5$. चूंकि $QM = RM$,इसलिए $QM$ के स्थान पर $RM$ रखने पर: $PR^{2} = PM^{2} - RM^{2} + 4RM^{2}$।
$6$. व्यंजक को सरल करने पर,हमें $PR^{2} = PM^{2} + 3RM^{2}$ प्राप्त होता है। इति सिद्धम्।