$\Delta ABC$ में,$P, Q$ और $R$ क्रमशः $AB, BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि $PBQR, PQCR$ और $PQRA$ सभी समांतर चतुर्भुज हैं।

(N/A) दिया है: $P, Q$ और $R$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB, BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसका आधा होता है।
$1$. $PBQR$ के लिए: चूंकि $R, AC$ का मध्य-बिंदु है और $P, AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PR \parallel BC$ और $PR = \frac{1}{2} BC = BQ$ है। साथ ही,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = RC$ है। चूंकि $PR \parallel BQ$ और $PQ \parallel RB$ है,इसलिए $PBQR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$2$. $PQCR$ के लिए: चूंकि $P, AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = RC$ है। साथ ही,$QR \parallel AB$ और $QR = \frac{1}{2} AB = PC$ है। चूंकि $PQ \parallel RC$ और $QR \parallel PC$ है,इसलिए $PQCR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$3$. $PQRA$ के लिए: चूंकि $Q, BC$ का मध्य-बिंदु है और $R, AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QR \parallel AB$ और $QR = \frac{1}{2} AB = AP$ है। साथ ही,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = AR$ है। चूंकि $QR \parallel AP$ और $PQ \parallel AR$ है,इसलिए $PQRA$ एक समांतर चतुर्भुज है।