त्रिभुज $ABC$ में,$\left(\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}\right)^2 \leq$

$\triangle PQR$ में,$\angle R = \frac{\pi}{4}$ है। यदि $\tan \left(\frac{P}{3}\right)$ और $\tan \left(\frac{Q}{3}\right)$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,तो:

एक $\Delta ABC$ में,एक अर्धवृत्त अंतर्निहित है,जिसका व्यास भुजा $c$ पर स्थित है। तो अर्धवृत्त की त्रिज्या क्या होगी?
जहाँ $\Delta$ त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल है।

एक त्रिभुज $ABC$ में,यदि $\cos A + 2 \cos B + \cos C = 2$ है और कोण $A$ और $C$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई क्रमशः $3$ और $7$ है,तो $\cos A - \cos C$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरणों के निकाय $x+y = \frac{2 \pi}{3}$ और $\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$,जहाँ $x, y$ वास्तविक हैं,का हल समुच्चय क्या है?

अंतराल $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में $\theta$ के मानों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $n=0, \pm 1, \pm 2$ के लिए $\theta \neq \frac{n \pi}{5}$ और $\tan \theta = \cot 5 \theta$ तथा $\sin 2 \theta = \cos 4 \theta$ हो।