त्रिभुज $ABC$ में,व्यंजक $\frac{a(r_1 r + r_2 r_3)}{r_1 - r + r_2 + r_3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक गैर-समकोण त्रिभुज $\triangle PQR$ में, मान लीजिए $p, q, r$ क्रमशः $P, Q, R$ कोणों के सम्मुख भुजाओं की लंबाई दर्शाते हैं। $R$ से खींची गई माध्यिका भुजा $PQ$ को $S$ पर मिलती है, $P$ से खींचा गया लंब भुजा $QR$ को $E$ पर मिलता है, और $RS$ तथा $PE$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $p=\sqrt{3}, q=1$, और $\triangle PQR$ के परिवृत्त की त्रिज्या $1$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $\triangle SOE$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{48}$
$(2)$ $\triangle PQR$ के अंतःवृत्त की त्रिज्या $= \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$
$(3)$ $RS$ की लंबाई $= \frac{\sqrt{7}}{2}$
$(4)$ $OE$ की लंबाई $= \frac{1}{6}$

$\triangle ABC$ में,यदि $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$ और $C = \frac{\pi}{2}$ है,तो $A : B =$

$AB$ एक ऊर्ध्वाधर मीनार है। बिंदु $A$ जमीन पर है और $C$,$AB$ का मध्य बिंदु है। भाग $CB$ जमीन पर स्थित बिंदु $P$ पर $\alpha$ कोण बनाता है। यदि $AP = n \cdot AB$ है,तो सही संबंध है:

सामान्य संकेतों के साथ,$\Delta ABC$ में,यदि $b \cos ^{2} \frac{C}{2}+c \cos ^{2} \frac{B}{2}=\frac{3 a}{2}$ है,तो

एक त्रिभुज $ABC$ में,यदि $\cos A + 2 \cos B + \cos C = 2$ है और कोण $A$ और $C$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई क्रमशः $3$ और $7$ है,तो $\cos A - \cos C$ का मान ज्ञात कीजिए।