આકૃતિમાં,$ABC$ એ $A$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે. $BCED$,$ACFG$ અને $ABMN$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC$,$CA$ અને $AB$ પરના ચોરસ છે. રેખાખંડ $AX \perp DE$ એ $BC$ ને $Y$ માં મળે છે. સાબિત કરો કે: $\operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(ACFG)$.

(A) $\operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(ACFG)$ સાબિત કરવા માટે:
$1$. $\Delta ABD$ અને $\Delta MBC$ ધ્યાનમાં લો. આપણી પાસે $AB = MB$ (ચોરસ $ABMN$ ની બાજુઓ),$BD = BC$ (ચોરસ $BCED$ ની બાજુઓ),અને $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \angle ABC + 90^\circ = \angle ABC + \angle MBA = \angle MBC$ છે.
$2$. $SAS$ એકરૂપતા દ્વારા,$\Delta ABD \cong \Delta MBC$.
$3$. $\Delta ABD$ અને ચોરસ $ABMN$ એક જ પાયા $AB$ પર અને સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN)$.
$4$. તેવી જ રીતે,$\Delta MBC$ અને લંબચોરસ $BYXD$ એક જ પાયા $BD$ પર અને સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$\operatorname{ar}(\Delta MBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$.
$5$. $\Delta ABD \cong \Delta MBC$ હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. તેથી,$\frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{ar}(ABMN) = \operatorname{ar}(BYXD)$.
$6$. સમાન તર્ક દ્વારા,$\operatorname{ar}(ACFG) = \operatorname{ar}(CYXE)$.
$7$. આમ,$\operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(ACFG)$.