आकृति में,$\Delta ABC$ और $\Delta AMP$ दो समकोण त्रिभुज हैं,जो क्रमशः $B$ और $M$ पर समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:
$(i)$ $\Delta ABC \sim \Delta AMP$
$(ii)$ $\frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}$

कोष्ठक में दिए गए सही शब्दों का उपयोग करके रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
$(i)$ सभी वृत्त $........$ होते हैं। (सर्वांगसम,समरूप)
$(ii)$ सभी वर्ग $.........$ होते हैं। (समरूप,सर्वांगसम)
$(iii)$ सभी $.........$ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु,समबाहु)
$(iv)$ भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं,यदि $(a)$ उनके संगत कोण $......$ हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ $......$ हों। (बराबर,समानुपाती)

$S$ और $T$ त्रिभुज $\Delta PQR$ की भुजाओं $PR$ और $QR$ पर स्थित ऐसे बिंदु हैं कि $\angle P = \angle RTS$ है। दर्शाइए कि $\Delta RPQ \sim \Delta RTS$ है।

यदि एक रेखा $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $D$ और $E$ पर प्रतिच्छेद करती है और $BC$ के समांतर है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ (आकृति देखिए)।

आकृति में,$ABC$ एक त्रिभुज है जिसमें $\angle ABC < 90^{\circ}$ और $AD \perp BC$ है। सिद्ध कीजिए कि $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2BC \cdot BD$ है।

यदि $AD$ और $PM$ क्रमशः त्रिभुज $ABC$ और $PQR$ की माध्यिकाएँ हैं,जहाँ $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}.$