$6$ नए साल के ग्रीटिंग कार्ड $4$ लोगों को कितने तरीकों से भेजे जा सकते हैं?

${ }^{15} P_8 = A + 8 \cdot { }^{14} P_7 \Rightarrow A = $

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली चार अंकों की संख्याएँ जो $3$ से विभाज्य हैं,जब अंकों की पुनरावृत्ति किसी भी संख्या में की जा सकती है,उनकी संख्या क्या है?

एक नंबर लॉक में तीन रिंग हैं। यदि $1^{st}$ रिंग पर $0$ से $9$ तक के अंक अंकित हैं,$2^{nd}$ रिंग पर $2$ से बड़े लेकिन $30$ से छोटे अभाज्य अंक अंकित हैं,और $3^{rd}$ रिंग पर सभी स्वर (vowels) अंकित हैं,तो असफल प्रयासों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।

$DAUGHTER$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके $8$ अक्षरों की ऐसी कितनी अलग व्यवस्थाएँ बनाई जा सकती हैं कि सभी स्वर एक साथ आएँ?

$TRICK$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके,भिन्न अक्षरों वाला पाँच अक्षरों का एक शब्द इस प्रकार बनाया जाता है कि $C$ मध्य में हो। यह कितने तरीकों से संभव है?