$PERMUTATIONS$ शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है यदि $P$ और $S$ के बीच हमेशा $4$ अक्षर हों?

$5$ पुरस्कारों को चार छात्रों के बीच कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है,यदि प्रत्येक छात्र एक या अधिक पुरस्कार ले सकता है?

मान लीजिए $b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}$ एक $4$-तत्व का क्रमचय है जहाँ $b_{i} \in \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ है,$1 \leq i \leq 4$ के लिए और $i \neq j$ के लिए $b_{i} \neq b_{j}$ है,ताकि या तो $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ क्रमागत पूर्णांक हों या $b_{2}, b_{3}, b_{4}$ क्रमागत पूर्णांक हों। ऐसे क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए।

यदि $^n{P_r} = 720 \times {^n{C_r}}$ है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए:

$BANANA$ शब्द के अक्षरों के कुल क्रमचयों (permutations) की संख्या क्या है?

$5$ लड़कियों और $3$ लड़कों को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो लड़के एक साथ न हों,तो ऐसा करने के तरीकों की संख्या क्या है?