$(1+a)^{m+n}$ के विस्तार में सिद्ध कीजिए कि $a^{m}$ और $a^{n}$ के गुणांक समान हैं।

(N/A) $(1+a)^{N}$ के द्विपद विस्तार में सामान्य पद $(T_{r+1})$ को $T_{r+1} = {}^{N}C_{r} a^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+a)^{m+n}$ के विस्तार के लिए,$a^{m}$ का गुणांक $r=m$ रखकर प्राप्त किया जाता है:
$a^{m}$ का गुणांक $= {}^{m+n}C_{m} = \frac{(m+n)!}{m!(m+n-m)!} = \frac{(m+n)!}{m!n!}$ ........... $(1)$
इसी प्रकार,$a^{n}$ का गुणांक $r=n$ रखकर प्राप्त किया जाता है:
$a^{n}$ का गुणांक $= {}^{m+n}C_{n} = \frac{(m+n)!}{n!(m+n-n)!} = \frac{(m+n)!}{n!m!}$ ........... $(2)$
चूंकि $m!n! = n!m!$,इसलिए ${}^{m+n}C_{m} = {}^{m+n}C_{n}$ होता है।
अतः,$a^{m}$ और $a^{n}$ के गुणांक समान हैं।