સમૂહ $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માં $\otimes_{7}$ હેઠળ,$4 \otimes_{7} x = 5$ નો ઉકેલ શું છે?

ધારો કે $^*$ એ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $a ^* b = a$ અને $b$ નો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $N$ ના કયા ઘટકો $^*$ ક્રિયા માટે વ્યસ્ત સંપન્ન છે તે શોધો.

ધારો કે $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. જો $a, b \in A$ હોય અને $a * b$ એ $ab$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $*$ પ્રક્રિયા માટે $2$ નો વ્યસ્ત શોધો.

ધારો કે $*$ એ $R$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્વિ ક્રિયા છે,જ્યાં $a * b = \frac{a+b}{4}$ તમામ $a, b \in R$ માટે. તો આ ક્રિયા $*$ કેવી છે?

ગણ $N$ પર નીચેનામાંથી કઈ દ્વિ-ક્રિયાઓ જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે અને કઈ ક્રમનો નિયમ પાળે છે તે નક્કી કરો. $a * b = \frac{a+b}{2}$,જ્યાં $a, b \in N$.

સાબિત કરો કે $\{1, 2\}$ પર $1$ ને તટસ્થ ઘટક (identity) તરીકે અને $2$ ને $2$ ના વ્યસ્ત (inverse) તરીકે ધરાવતી દ્રીકક્રિયાઓની સંખ્યા માત્ર એક જ છે.