ધારો કે $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. જો $a, b \in A$ હોય અને $a * b$ એ $ab$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $*$ પ્રક્રિયા માટે $2$ નો વ્યસ્ત શોધો.

ધારો કે $*$ એ $Q$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્રીક ક્રિયા છે. $a, b \in Q$ માટે $a * b = a - b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્રીક ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે નક્કી કરો.

ધારો કે $^*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે,જે $a \,^*\, b = a b^{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. નક્કી કરો કે આ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ અને જૂથનો નિયમ પાળે છે કે નહીં.

એક અરિક્ત ગણ $X$ આપેલ છે,ધારો કે $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ એ $A \,^*\, B = (A - B) \cup (B - A)$,$\forall A, B \in P(X)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે ખાલી ગણ $\Phi$ એ ક્રિયા $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક છે અને $P(X)$ ના તમામ ઘટકો $A$ એ $A^{-1} = A$ સાથે વ્યસ્ત સંપન્ન છે.

સમૂહ $(G, \times_{15})$ માં,જ્યાં $G = \{3, 6, 9, 12\}$ અને $\times_{15}$ એ $15$ મોડ્યુલો ગુણાકાર છે,તો તટસ્થ ઘટક (identity element) કયો છે?

નીચે વ્યાખ્યાયિત દરેક દ્વિ ક્રિયા $^*$ માટે,નક્કી કરો કે $^*$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે કે જૂથનો ગુણધર્મ. $Z^+$ પર,$a ^* b = a^b$ વ્યાખ્યાયિત કરો.