माना $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। यदि $a, b \in A$ है और $a * b$ को $ab$ को $7$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है,तो $*$ संक्रिया के अंतर्गत $2$ का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $^*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a * b = (a - b)^2$ द्वारा परिभाषित है। निर्धारित करें कि क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय और साहचर्य है।

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषा एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है या नहीं। यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य बताइए। $Z^{+}$ पर,$*$ को $a * b = a - b$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

नीचे परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,निर्धारित करें कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है। $Q$ पर,$a ^* b = ab + 1$ परिभाषित करें।

मान लीजिए कि $N$ पर $^*$ एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a \,^*\, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ द्वारा दी गई है। क्या $^*$ साहचर्य है?

मान लीजिए कि $*^{\prime}$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर $a *^{\prime} b = a$ और $b$ का म.स.प. ($H$.$C$.$F$.) द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। क्या संक्रिया $*^{\prime}$ ऊपर दिए गए अभ्यास $4$ में परिभाषित संक्रिया $*$ के समान है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।