ધારો કે $*$ એ $Q$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્રીક ક્રિયા છે. $a, b \in Q$ માટે $a * b = a - b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્રીક ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે નક્કી કરો.

દ્વિ-ક્રિયાઓ $^*: R \times R \rightarrow R$ અને $o: R \times R \rightarrow R$ ધ્યાનમાં લો,જે $a \,^*\, b = |a-b|$ અને $a \,o\, b = a$,$\forall \, a, b \in R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $^*$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી,અને $o$ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી. વધુમાં,સાબિત કરો કે $\forall \, a, b, c \in R, a \,^*\, (b \,o\, c) = (a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c)$. [જો આમ હોય,તો આપણે કહીએ છીએ કે ક્રિયા $^*$ એ ક્રિયા $o$ પર વિભાજિત થાય છે]. શું $o$ એ $^*$ પર વિભાજિત થાય છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

સાબિત કરો કે $\{1, 2\}$ પર $1$ ને તટસ્થ ઘટક (identity) તરીકે અને $2$ ને $2$ ના વ્યસ્ત (inverse) તરીકે ધરાવતી દ્રીકક્રિયાઓની સંખ્યા માત્ર એક જ છે.

ધારો કે $*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્વિ-ક્રિયા છે. $a, b \in Q$ માટે $a * b = a^{2} + b^{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્વિ-ક્રિયા ક્રમ-નિરપેક્ષ (commutative) છે કે નહીં તે નક્કી કરો.

સમૂહ $G=\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ માં સરવાળા મોડ્યુલો $6$ હેઠળ,$(2 +_{6} 3^{-1} +_{6} 4)^{-1}$ ની કિંમત શું થાય?

પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ $(Z, *)$ માં,જો $a * b = a + b - n, \forall a, b \in Z$ હોય,જ્યાં $n$ એક નિશ્ચિત પૂર્ણાંક છે,તો $(-n)$ નો વ્યસ્ત શોધો: