ધારો કે $*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્વિ-ક્રિયા છે. $a, b \in Q$ માટે $a * b = a^{2} + b^{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્વિ-ક્રિયા ક્રમ-નિરપેક્ષ (commutative) છે કે નહીં તે નક્કી કરો.

ધારો કે $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. જો $a, b \in A$ હોય અને $a * b$ એ $ab$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $*$ પ્રક્રિયા માટે $2$ નો વ્યસ્ત શોધો.

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યાઓ પૈકી કઈ દ્રીક ક્રિયા (binary operation) છે તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્રીક ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $Z^{+}$ પર,$*$ ને $a * b = a$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.

સાબિત કરો કે સરવાળો, બાદબાકી અને ગુણાકાર એ $R$ પર દ્વિ-ક્રિયાઓ (binary operations) છે, પરંતુ ભાગાકાર એ $R$ પર દ્વિ-ક્રિયા નથી. વધુમાં, સાબિત કરો કે ભાગાકાર એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R_*$ પર દ્વિ-ક્રિયા છે.

ગણ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ પર દ્વિક્રિયા $^*$ ને $a \,^* \, b = \begin{cases} a+b, & \text{જો } a+b < 6 \\ a+b-6, & \text{જો } a+b \geq 6 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો. સાબિત કરો કે $0$ એ આ ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક છે અને ગણનો દરેક ઘટક $a \neq 0$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે,જ્યાં $6-a$ એ $a$ નો વ્યસ્ત છે.

ધારો કે $*$ એ $R$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્વિ ક્રિયા છે,જ્યાં $a * b = \frac{a+b}{4}$ તમામ $a, b \in R$ માટે. તો આ ક્રિયા $*$ કેવી છે?