સાબિત કરો કે સરવાળો, બાદબાકી અને ગુણાકાર એ $R$ પર દ્વિ-ક્રિયાઓ (binary operations) છે, પરંતુ ભાગાકાર એ $R$ પર દ્વિ-ક્રિયા નથી. વધુમાં, સાબિત કરો કે ભાગાકાર એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R_*$ પર દ્વિ-ક્રિયા છે.

(N/A) ગણ $S$ પરની દ્વિ-ક્રિયા $*$ એ એક વિધેય $*: S \times S \rightarrow S$ છે।
$1$. સરવાળા $(+)$ માટે: કોઈપણ $a, b \in R$ માટે, $a+b$ એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા છે। તેથી, $+: R \times R \rightarrow R$ એ દ્વિ-ક્રિયા છે।
$2$. બાદબાકી $(-)$ માટે: કોઈપણ $a, b \in R$ માટે, $a-b$ એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા છે। તેથી, $-: R \times R \rightarrow R$ એ દ્વિ-ક્રિયા છે।
$3$. ગુણાકાર $(\times)$ માટે: કોઈપણ $a, b \in R$ માટે, $a \times b$ એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા છે। તેથી, $\times: R \times R \rightarrow R$ એ દ્વિ-ક્રિયા છે।
$4$. ભાગાકાર $(div)$ માટે: $a, b \in R$ માટે, જ્યારે $b=0$ હોય ત્યારે ક્રિયા $a \div b = \frac{a}{b}$ વ્યાખ્યાયિત નથી। કારણ કે $0 \in R$, ભાગાકારની ક્રિયા એ $R \times R$ થી $R$ પરનું વિધેય નથી। તેથી, તે $R$ પર દ્વિ-ક્રિયા નથી।
$5$. $R_*$ (શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ) માટે: કોઈપણ $a, b \in R_*$ માટે, $a \neq 0$ અને $b \neq 0$। ભાગફળ $\frac{a}{b}$ હંમેશા એક વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક સંખ્યા છે, અને $a, b \neq 0$ હોવાથી, $\frac{a}{b} \neq 0$। તેથી, $\frac{a}{b} \in R_*$। આમ, ભાગાકાર એ $R_*$ પર દ્વિ-ક્રિયા છે।