फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{1}{x-x^{3}}$

(D) हमारे पास $\frac{1}{x-x^{3}} = \frac{1}{x(1-x^{2})} = \frac{1}{x(1-x)(1+x)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $\frac{1}{x(1-x)(1+x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1-x} + \frac{C}{1+x} \dots (1)$.
$x(1-x)(1+x)$ से गुणा करने पर,हमें $1 = A(1-x^{2}) + Bx(1+x) + Cx(1-x)$ प्राप्त होता है।
$x=0$ रखने पर,$A=1$ प्राप्त होता है।
$x=1$ रखने पर,$1 = B(1)(2) \Rightarrow B = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$x=-1$ रखने पर,$1 = C(-1)(2) \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{x-x^{3}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2(1-x)} - \frac{1}{2(1+x)}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{x-x^{3}} dx = \int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1-x} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x} dx$.
$= \log |x| - \frac{1}{2} \log |1-x| - \frac{1}{2} \log |1+x| + C$.
$= \log |x| - \frac{1}{2} \log |(1-x)(1+x)| + C$.
$= \log |x| - \frac{1}{2} \log |1-x^{2}| + C$.
$= \frac{1}{2} \log |x^{2}| - \frac{1}{2} \log |1-x^{2}| + C$.
$= \frac{1}{2} \log \left| \frac{x^{2}}{1-x^{2}} \right| + C$.