int frac{dx}{x(x^2+1)^3} = ? | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)^3}$. अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{x dx}{x^2(x^2+1)^3}$. माना $x^2 = t$,तब $2x dx = dt$,इसलि

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$\frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x^2+1)^2} + \log \sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}} + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)^3}$. अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{x dx}{x^2(x^2+1)^3}$. माना $x^2 = t$,तब $2x dx = dt$,इसलिए $x dx = \frac{dt}{2}$. $I = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t(t+1)^3}$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{t(t+1)^3} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1} + \frac{C}{(t+1)^2} + \frac{D}{(t+1)^3}$. स्थिरांकों के लिए हल करने पर: $A=1, B=-1, C=-1, D=-1$. $I = \frac{1}{2} [\int \frac{1}{t} dt - \int \frac{1}{t+1} dt - \int \frac{1}{(t+1)^2} dt - \int \frac{1}{(t+1)^3} dt]$. $I = \frac{1}{2} [\log|t| - \log|t+1| + \frac{1}{t+1} + \frac{1}{2(t+1)^2}] + c$. $t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{1}{2} \log \frac{x^2}{x^2+1} + \frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x^2+1)^2} + c$. $I = \log \sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}} + \frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x^2+1)^2} + c$.

$\int \frac{dx}{x(x^2+1)^3} = ?$

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$\int \frac{x}{(x-1)(x-2)} dx = $ . . . . . . $+ C$.

यदि $\int \frac{\cos \theta}{5+7 \sin \theta-2 \cos ^2 \theta} d \theta=A \log _e|f(\theta)|+c$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $\frac{f(\theta)}{A}$ क्या हो सकता है?

मान लीजिए $I(x) = \int \frac{(x+1)}{x(1+x e^x)^2} dx, x > 0$. यदि $\lim_{x \rightarrow \infty} I(x) = 0$ है,तो $I(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{x^4}{(x^2+1)(x^2+3)} =$

यदि $\int \frac{3x+1}{(x-1)^3(x+1)} dx = A \cdot \log \left|\frac{x+1}{x-1}\right| + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + D$ है,तो $A+B+C=$

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