मान लीजिए I(x) = int frac{(x+1)}{x(1+x e^x)^2 | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $I(x) = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} dx$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I(x) = \int \frac{(x+1)e^x}{x e^x(1+x e^x)^2} dx$. मान

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$\frac{e+2}{e+1} - \log_e(e+1)$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $I(x) = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} dx$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I(x) = \int \frac{(x+1)e^x}{x e^x(1+x e^x)^2} dx$. मान लीजिए $u = x e^x$,तो $du = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$. इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I(x) = \int \frac{du}{u(1+u)^2}$. आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{u(1+u)^2} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1+u} + \frac{C}{(1+u)^2}$. $1 = A(1+u)^2 + Bu(1+u) + Cu$. $u=0$ के लिए,$A=1$. $u=-1$ के लिए,$C=-1$. $u^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A+B=0 \implies B=-1$. अतः,$I(x) = \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{1+u} - \frac{1}{(1+u)^2}) du = \log|u| - \log|1+u| + \frac{1}{1+u} + C$. $I(x) = \log|\frac{u}{1+u}| + \frac{1}{1+u} + C = \log|\frac{x e^x}{1+x e^x}| + \frac{1}{1+x e^x} + C$. जब $x \rightarrow \infty$,तब $\frac{x e^x}{1+x e^x} \rightarrow 1$,इसलिए $\log(1) = 0$ और $\frac{1}{1+x e^x} \rightarrow 0$. इस प्रकार,$\lim_{x \rightarrow \infty} I(x) = 0 + 0 + C = 0 \implies C = 0$. $I(1) = \log(\frac{e}{1+e}) + \frac{1}{1+e} = \log(e) - \log(1+e) + \frac{1}{1+e} = 1 - \log(1+e) + \frac{1}{1+e} = \frac{1+e+1}{1+e} - \log(1+e) = \frac{e+2}{e+1} - \log_e(e+1)$.

मान लीजिए $I(x) = \int \frac{(x+1)}{x(1+x e^x)^2} dx, x > 0$. यदि $\lim_{x \rightarrow \infty} I(x) = 0$ है,तो $I(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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परिमेय फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}{(x^{2}+3)(x^{2}+4)}$

यदि $\int \frac{3x + 7}{x^2 - 3x + 2} dx = m \log |x - 2| + n \log |x - 1| + c$, जहाँ $m, n \in R$ और $c$ एक समाकलन स्थिरांक है, तो $m + n =$ का मान है:

$\int \frac{x}{x^3-3 x+2} d x=$

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{x}{(x^2+1)(x^2+3)} dx$ है। यदि $f(3) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{5}{6}\right)$ है,तो $f(0)$ ज्ञात कीजिए।

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