निम्नलिखित कथनों में से सत्य या असत्य का निर्धारण करें:
$1.$ माध्य स्थिति पर $SHO$ का त्वरण अधिकतम होता है।
$2.$ $SHO$ की यांत्रिक ऊर्जा अधिकतम विस्थापन पर निर्भर करती है।
$3.$ सेकंड लोलक (seconds pendulum) का आवर्तकाल $1 \, s$ होता है।
$4.$ यदि $SHM$ की आवृत्ति $v$ है,तो गतिज ऊर्जा की आवृत्ति भी $v$ होती है।

एक निकाय अवमंदित-रहित सरल आवर्त गति (undamped simple harmonic motion) कर रहा है। तो

फेज स्पेस आरेख सभी प्रकार की गतिशील समस्याओं के विश्लेषण में उपयोगी उपकरण हैं। जब प्रारंभिक स्थिति और संवेग बदलते हैं तो गति में होने वाले परिवर्तनों का अध्ययन करने में ये विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। यहाँ हम एक आयाम में कुछ सरल गतिशील प्रणालियों पर विचार करते हैं। ऐसी प्रणालियों के लिए, फेज स्पेस एक तल है जिसमें स्थिति को क्षैतिज अक्ष पर और संवेग को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर आलेखित किया जाता है। फेज स्पेस आरेख इस तल में $x(t)$ बनाम $p(t)$ वक्र है। वक्र पर तीर समय के प्रवाह को इंगित करता है। उदाहरण के लिए, स्थिर वेग से गति करने वाले कण के लिए फेज स्पेस आरेख चित्र में दिखाए अनुसार एक सीधी रेखा है। हम उस चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हैं जिसमें ऊपर की ओर (या दाईं ओर) स्थिति या संवेग धनात्मक है और नीचे की ओर (या बाईं ओर) ऋणात्मक है।
$1.$ जमीन से ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए फेज स्पेस आरेख कौन सा है?
$2.$ सरल आवर्त गति के लिए फेज स्पेस आरेख मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त है। चित्र में, दो वृत्त एक ही ऑसिलेटर का प्रतिनिधित्व करते हैं लेकिन अलग-अलग प्रारंभिक स्थितियों के लिए, और $E_1$ और $E_2$ क्रमशः कुल यांत्रिक ऊर्जाएं हैं। तो:
$(A) E_1 = \sqrt{2} E_2$
$(B) E_1 = 2 E_2$
$(C) E_1 = 4 E_2$
$(D) E_1 = 16 E_2$
$3.$ पानी में डूबे हुए द्रव्यमान के साथ स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली पर विचार करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इस प्रणाली के एक चक्र के लिए फेज स्पेस आरेख कौन सा है?
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

चित्र में दर्शाई गई स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ में $m$ द्रव्यमान का एक कण गति करता है। स्थितिज ऊर्जा $x < 0$ के लिए $U = \frac{1}{2}kx^2$ और $x > 0$ के लिए $U = mgx$ है। जब कण की कुल ऊर्जा $E$ हो,तो गति का आवर्तकाल क्या होगा?

$t=0$ पर,$3 \ s$ के आवर्तकाल के साथ $SHM$ कर रहा एक कण दूसरे $SHM$ कर रहे कण के साथ समान कला में है। दूसरे कण का आवर्तकाल $T$ ($3 \ s$ से कम) है। यदि वे $45 \ s$ के बाद तीसरी बार फिर से समान कला में हैं,तो $T$ का मान क्या है ($s$ में)?

$5\, {kg}$ का एक द्रव्यमान एक स्प्रिंग से जुड़ा है। निकाय द्वारा निष्पादित सरल आवर्त गति का स्थितिज ऊर्जा वक्र चित्र में दिखाया गया है। $4\, {m}$ लंबाई वाले एक सरल लोलक का दोलन काल स्प्रिंग निकाय के समान है। जिस ग्रह पर ये प्रयोग किए जाते हैं,वहां गुरुत्वीय त्वरण का मान क्या है? (${m} / {s}^{2}$ में)