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Question

(C) दिया गया है कि $\frac{d}{dt}(t \log t - t) = \log t$. माना $I = \int_0^1 2x \log(1+x^2) dx$. $t = 1+x^2$ प्रतिस्थापित करने पर, $dt = 2x dx$ प्राप्

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$\frac{4}{e}$

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(C) दिया गया है कि $\frac{d}{dt}(t \log t - t) = \log t$. माना $I = \int_0^1 2x \log(1+x^2) dx$. $t = 1+x^2$ प्रतिस्थापित करने पर, $dt = 2x dx$ प्राप्त होता है। जब $x=0$, तब $t=1$ और जब $x=1$, तब $t=2$। अतः, $I = \int_1^2 \log t dt$. दिए गए अवकलन का उपयोग करते हुए, $\int \log t dt = t \log t - t + C$. इसलिए, $I = [t \log t - t]_1^2 = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) = 2 \log 2 - 2 - 0 + 1 = \log 4 - 1$. अतः, $\exp(I) = \exp(\log 4 - 1) = e^{\log 4} \cdot e^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{e} = \frac{4}{e}$. अतः, सही विकल्प $C$ है।

यह दिया गया है कि $\frac{d}{dt}(t \log t - t) = \log t$. तो, $\exp \left( \int_0^1 2x \log(1+x^2) dx \right) = $

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$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 x \sin^2 x}{(\cos^3 x + \sin^3 x)^2} \, dx =$

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निश्चित समाकलन $\int\limits_0^{\sqrt {\ln \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} } {\cos \left( {{e^{{x^2}}}} \right)} \cdot 2x {e^{{x^2}}}dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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