मान लीजिए $\vec V = 2\hat i + \hat j - \hat k$,$\vec W = \hat i + 3\hat k$,और $|\vec U| = 2$ है। यदि $\vec U$,$x-y$ समतल में एक सदिश है,तो $([\vec U \vec V \vec W])^2$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

कथन-$1$: सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समतलीय (coplanar) होते हैं यदि और केवल यदि $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ हो।
कथन-$2$: सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ हो,जहाँ $\vec{u} \times \vec{v}$ एक सदिश है जो $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के तल के लंबवत है।

सदिशों $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$, $\vec{b}=6 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{c}=3 \hat{i}-6 \hat{j}-2 \hat{k}$ पर विचार करें।
अभिकथन $(A):$ ये तीन सदिश एक त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
कारण $(R):$ ये तीन सदिश असमतलीय हैं।
निम्नलिखित में से सही विकल्प है:

यदि सदिश $2i - 3j$,$i + j - k$ और $3i - k$ एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन संगामी किनारे बनाते हैं,तो समांतर षट्फलक का आयतन क्या है?

$\mu$ के उन भिन्न वास्तविक मानों का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए सदिश $\mu \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} + \mu \hat{j} + \hat{k}$,और $\hat{i} + \hat{j} + \mu \hat{k}$ समतलीय हैं।

यदि सदिश $2i - j + k$,$i + 2j - 3k$ और $3i + aj + 5k$ समतलीय हैं,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।