मान लीजिए f(x) = intlimits_0^x {(t^2 + 2t + 2 | vedclass

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Question

(B) दी गई असमिका: $\log_{\sqrt{2}}(1 + \sqrt{6x - x^2 - 8}) \ge 0$.चूंकि आधार $\sqrt{2} > 1$ है,इसलिए $1 + \sqrt{6x - x^2 - 8} \ge (\sqrt{2})^0 = 1$.इ

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$56$

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(B) दी गई असमिका: $\log_{\sqrt{2}}(1 + \sqrt{6x - x^2 - 8}) \ge 0$.चूंकि आधार $\sqrt{2} > 1$ है,इसलिए $1 + \sqrt{6x - x^2 - 8} \ge (\sqrt{2})^0 = 1$.इसका अर्थ है $\sqrt{6x - x^2 - 8} \ge 0$,जो वर्गमूल के प्रांत के लिए हमेशा सत्य है।वर्गमूल को परिभाषित होने के लिए,$6x - x^2 - 8 \ge 0$,जिसका अर्थ है $x^2 - 6x + 8 \le 0$.द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 2)(x - 4) \le 0$,अतः $x \in [2, 4]$.अब,$f(x) = \int_0^x (t^2 + 2t + 2)dt = [\frac{t^3}{3} + t^2 + 2t]_0^x = \frac{x^3}{3} + x^2 + 2x$.चूंकि $f'(x) = x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1 > 0$,इसलिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।अतः,$x \in [2, 4]$ के लिए $f(x)$ का परिसर $[f(2), f(4)]$ है।$a = f(2) = \frac{8}{3} + 4 + 4 = \frac{32}{3}$.$b = f(4) = \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{136}{3}$.इसलिए,$a + b = \frac{32}{3} + \frac{136}{3} = \frac{168}{3} = 56$.

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यदि $f(x)$ संबंध $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} (y + xe^{x}) f(y) dy$ को संतुष्ट करता है, तो $e + f(0)$ का मान . . . . . . है।

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