ધારો કે $P$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = 4$ પરનું એક બિંદુ છે,જે $(0, -1)$ થી ન્યૂનતમ અંતરે છે,તો $x$-અક્ષથી $P$ નું અંતર કેટલું થાય?

${x^2} - 3{y^2} = 2x + 8$ ના અનુબદ્ધ અતિવલય (conjugate hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

જો અતિવલય $x^2-y^2=c^2$ પરના બિંદુ $P(t)$ પર દોરેલો સ્પર્શક $X$-અક્ષને $T$ માં છેદે અને તે જ બિંદુ $P$ પર દોરેલો અભિલંબ $Y$-અક્ષને $N$ માં છેદે,તો $TN$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ શોધો.

જો $(a - 2)x^2 + ay^2 = 4$ એ લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવતું હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ અને $B(2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ જ્યાં $\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$,એ અતિવલય $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(\alpha, \beta)$ એ $A$ અને $B$ આગળ અતિવલયના અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય,તો $\beta$ ની કિંમત શોધો.

જો $l$ એ $-3x^2+4x+1$ ની મહત્તમ કિંમત હોય અને $m$ એ $3x^2+4x+1$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $(l, 0)$ અને $(7m, 0)$ પર નાભિઓ ધરાવતા અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e=2$ હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.